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∑考=人 〜プロメテウス〜

そして今日も考える。

前提条件をおさえるって大切ですよ

数学の有名な確率の問題に、『モンティ・ホール問題』というものがあります。数学的直観があてにならないことを示す問題例で、たぶん一度くらい聞いたことがあるんじゃないかなと思います。

 

問題をWikipediaより抜粋したので目を通してみて下さい。

「プレイヤー(回答者)の前に閉じられた3つのドアが用意され、そのうちの1つの後ろには景品が置かれ、2つの後ろには、外れを意味するヤギがいる。プレイヤーは景品のドアを当てると景品をもらえる。最初に、プレイヤーは1つのドアを選択するがドアは開けない。次に、当たり外れを事前に知っているモンティ(司会者)が残りのドアのうち1つの外れのドアをプレイヤーに教える(ドアを開け、外れを見せる)。ここでプレイヤーは、ドアの選択を、残っている開けられていないドアに変更しても良いとモンティから告げられる。プレイヤーはドアの選択を変更すべきだろうか?」

 まず、1/3の確率で当たりのドアをプレイヤーが選択する。その後で、一つのドアが外れであることを教えてもらった場合に、残り二つのドアが正解である確率はどのように変化するのか?というのがこの問題の趣旨です。

 

例えば、三つのドアをA、B、Cとして、最初にAを選択したとしましょう。その後、司会者はBが外れであることを教えます。つまり選択肢として残るのはAとCの二つになるわけです。Aが正解である確率が高いのであれば、ドアを変更しない方が良く、Cが正解である確率が高いのであれば、ドアを変更するべき、ということになります。

 

直観的に考えれば、それぞれが1/2の確率で正解となるので、変えようが変えまいが確率は変わらないように思えます。しかし、冒頭に数学的直観が当てにならないと述べたように、実際には二つの確率は異なり、Aは1/3、Cは2/3の確率で正解となります。よって、プレイヤーはドアを変えるべき、というのが答えです。

 

この問題は多くの数学者からも反論の声が上がったくらいなので、知らなくてできる問題ではありません。私も不思議に思いました。

 

なぜそうなるんでしょうね。簡素な説明としては以下のようなものが多いです。

 

元々はA,B,Cのそれぞれが正解である確率は1/3ずつである。ただ、Bが異なるすなわちBが正解である確率が0となったことにより、元々Bにあった1/3の確率がCに追加される。よって、Aが1/3、Cが2/3となる。

 

私は上の説明ではあんまり納得できなかったんですよね。なぜBという選択肢が無くなったら、その確率の全てがCへと移行してしまうのか。これに対する回答としては、Aというドアを既に選択してしまっているため、その時点での確率から変わらないのだそうです。

 

では仮に、空いているドア両方を開けたら、Bが正解である確率もCが正解である確率も0になるじゃないですか。ならば、Aが正解である確率が変動して1(すなわちAが必ず正解)となりますよね。これはおかしいと思っていました。

 

ただB(C)だけを開ける場合と、BとC両方を開ける場合では前提条件が違っているんですね。Aが正解であろうが、BかCのどちらかは必ず開けることができますが、Aが正解でなければBとCの両方を開けることができないんですね。つまり後者の条件の場合、BとCの両方を開ける直前にAが正解である確率は1になっているんです。

 

前提条件が違えば同じ考え方では通用しないし、比較もできないことの良い例ですね。

 

ちなみに直観的に理解したいなら極端な例を考えると良いでしょう。1000枚のドアのうち1枚が当たりで、最初に1つのドア選んだ後に司会者が残り998枚のハズレを教えたとすれば、ほぼ間違いなくドアを変えた方がいいことが何となくわかりますよね。なぜなら、もし変えなくても良かったのだとしたら、最初の1/1000を引いていた、ということになりますから。